武士の内山家に生まれたとされ（生年や生まれた所は諸説あり）、のちに関家の養子となった。
このころ、中国の数学書などを独学で学び、数学に打ちこんだ。
このころ、甲府藩主・徳川綱重、のちに綱豊に仕え、藩のお金を管理する役についた。
『発微算法』を出し、それまで解けなかった問題を解いてみせた。文字を使って式をあらわす筆算の方法を工夫し、日本の数学（和算）を大きく進めた。
このころ、のちに西洋で「行列式」とよばれる考え方にたどり着いていた。ヨーロッパとほぼ同じころの発見とされる。
このころ、円周率を小数点以下10けた以上まで正しく求めたといわれる。
主君の綱豊が5代将軍綱吉の跡継ぎとなったため、幕府に仕える旗本となった。
江戸で亡くなった。多くの弟子が「関流」として和算を受けつぎ、「算聖」とたたえられた。
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教科書や伝記で確かめられる事実をもとにしています。不確かなことは「諸説あり」「と伝わる」としています。